Poisson Verteilung - richtige Wettanalysen treffen

Was verbirgt sich hinter der Poisson Verteilung?

Die Poisson Verteilung verkörpert eine direkte Wahrscheinlichkeitsverteilung, die sich gut für das Herleiten seltener Ereignisse anbietet. Eine der wesentlichen Stärken der Poisson Verteilung zielt auf die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der Anzahl der Tore beider Mannschaften in einem Fußballmatch ab.

Bei Ergebnis- und Torwetten handelt es sich um zwei sehr beliebte Wettarten im Sportwetten Bereich. Das liegt darin begründet, dass z. B. Torwetten eine mathematische Gewinnwahrscheinlichkeit von fünfzig Prozent aufzeigen. Insofern z. b. der Markt Over/Under 2,5 Tore genutzt wird, gibt es nämlich nur zwei potenzielle Spielausgänge. Entweder es fallen mehr als 2,5 Tore oder weniger. Das Pendant stellt zum Beispiel eine klassische Drei-Wege-Sportwette dar. Diese bietet mit Sieg, Remis und Unentschieden drei Ausgangsszenarien. Somit bemisst mathematisch die Gewinnchance nur 33,33 Prozent.

Zudem eignet sich die Poisson Verteilung zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten exakter Endergebnisse. Es kann z. B. ermittelt werden, ob ein 1:1 zwischen zwei Konkurrenten recht wahrscheinlich ist. Dieser Markt birgt jedoch ein sehr hohes Verlustrisiko, da die Eintrittswahrscheinlichkeiten sehr gering sind. Aus diesem Grund bietet es, wie schon in unserem erfolgreich Wetten - Grundlagen Artikel erwähnt, nicht wirklich an diesen Markt zu spielen.

Poisson Verteilung – die Formel

Auf den ersten Blick gestaltet sich die Formel etwas komplex. Der Schein trügt aber. Mit den gewissen Basiskenntnissen sind die einzelnen Aspekte recht schnell verinnerlicht:

Als wichtigster Wert der Formel ist das Lambda (λ) zu bezeichnen. Dieses fungiert z. B. bei Over/Under Wetten als Grundlage für den Tordurchschnitt. Sollte z. B. Bayern einen Durchschnitt von 1,9 Tore pro Spiel aufzeigen, so gilt es diesen Wert anstelle des Lambdas einzugeben.

Das k bildet dabei die Anzahl der Tore, für die die Eintrittswahrscheinlichkeiten errechnet werden sollen, ab. Insofern das Interesse auf die Wahrscheinlichkeit von genau drei Toren in einem Spiel der Bayern fällt, ist k durch eine 3 zu ersetzen.

Das Ausrufezeichen verkörpert die Fakultät und das e steht für Eulersche Zahl. Beides sind Werte, die sich ohne Probleme mit dem Taschenrechner oder einem Tabellenkalkulationsprogramm ermitteln lassen.

Mit den eben benannten Werten, würde sich die Poisson Verteilung wie folgt verändern.

Um die Eintrittswahrscheinlichkeit für drei Tore auszugeben, muss der erhaltene Wert mit Hundert multipliziert werden. Das Ergebnis dieser Rechnung ist 17,1 Prozent. Es besteht durchaus die Möglichkeit direkt einen online Poisson-Rechner zu nutzen. Anhand von diesem gestaltet sich die Ermitteln der Wahrscheinlichkeit wesentlich einfacher und ist im Handumdrehen bewerkstelligt.

Die gesamte Formel setzt voraus, dass zuvor die durchschnittliche Zahl der Tore, die eine Mannschaft vermutlich in einem Match erzielt, ermittelt wird. Um hierbei einen realistischen Wert zu erhalten, gilt es zuvor die Angriffsstärke bzw. Verteidigungsstärke der beiden aufeinandertreffenden Konkurrenten zu berechnen und diese Werte dann miteinander zu vergleichen. Wie dies nun genau über die Bühne geht, wird jetzt erörtert.

Berechnen der Angriffsstärke

Im ersten Schritt heißt es die durchschnittliche Angriffsstärke der kompletten Bundesliga zu ermitteln. Um aussagekräftige Daten zu erhalten, wird eine komplette Bundesliga Saison 2020/2021 herangezogen. Zwei Werte sind für uns ausschlaggebend. Zum einen die durchschnittliche Anzahl der Tore, die pro Heimspiel erzielt wurde und die durchschnittliche Anzahl der Tore, die pro Auswärtsspiel verbucht wurde.

Um diese Werte zu ermittelt, wird die Gesamtanzahl der erzielten Tore (heim sowie auswärts) durch die Anzahl der Begegnungen der kompletten Saison dividiert.

Summe der Saisontore in Heimspielen / Anzahl der Spiele (komplette Saison)

Summe der Saisontore in Auswärtsspielen / Anzahl der Spiele (komplette Saison)

In der Bundesliga Saison 2020/21 wurden zuhause 513 Tore erzielt. In der Ferne kamen 415 Tore zustande. Dabei ergeben sich folgende Formeln:

Ø Tore pro Heimspiel = 513 / 306 = 1,676

Ø Tore pro Auswärtsspiel = 415 / 306 = 1,356

Anhand des Verhältnisses zwischen dem Durchschnittswert eines Teams und dem Durchschnittwert der kompletten Liga lässt sich die Angriffsstärke ermitteln.

Berechnen der Verteidigungsstärke

Nachdem nun die Angriffsstärke ermittelt wurde, gilt es die Verteidigungsstärke zu errechnen. Hierbei handelt es sich um die durchschnittliche Anzahl der Gegentore einer Mannschaft pro Spiel. Die Herangehensweise ist dabei merklich einfach, denn letztendlich sind es nur die umgekehrten Werte der oben genannten Zahlen. Dies liegt darin begründet, dass z. B. die Anzahl der von der Heimmannschaft erzielten Tore, der Anzahl der Gegentore der Auswärtsmannschaft entspricht. Dieser Gedankengang ergibt folgende Werte:

Ø Gegentore pro Heimspiel: 1,356

Ø Gegentore pro Auswärtsspiel: 1,676

Die Verteidigungsstärke ergibt sich aus dem Verhältnis zwischen dem Durchschnittswert eines Teams und dem Durchschnittwert der gesamten Liga.

Da nun alle notwendigen Daten zur Verfügung stehen, kann die Angriff- und Verteidigungsstärke für die Bundesliga Begegnung zwischen Dortmund und Frankfurt ermittelt werden.

Bestimmung der Erfolgsquote von Dortmund

Ermittlung der Angriffsstärke von Dortmund

Um die Angriffsstärke der Dortmunder zu bestimmen, gehen wir wie folgt vor. Im ersten Schritt benötigen wir die Anzahl der Heimtore von Dortmund in der Saison 2020/21. Die Borussen erzielten 40 Tore. Diese gilt es nun durch die Anzahl der Heimspiele (17) zu dividieren.

Ø Tore pro Heimspiel = 40 / 17 = 2,353

Um die Angriffsstärke zu ermitteln, wird die durchschnittliche Anzahl der Tore pro Heimspiel durch die in der Saison durchschnittlich pro Spiel erzielten Heimtore dividiert:

Angriffsstärke Dortmund = 2,353 / 1,676 = 1,404

Ermittlung der Verteidigungsstärke von Frankfurt

Um die Verteidigungsstärke der Eintracht zu ermitteln, gilt es folgende Aspekte zu berücksichtigen. Da die Frankfurter auswärts antreten, werden die in der letzten Saison zugelassenen Auswärtsstore benötigt. 33 Gegentore haben die Hessen in der Saison 2020/21 auswärts erhalten. Diese wird durch die Anzahl der Auswärtsspiele (17) dividiert.

Ø Gegentore pro Auswärtsspiel = 33 / 17 = 1,941

Um die Verteidigungsstärke zu errechnen, wird dieser Wert durch die in der Saison durchschnittlichen Gegentore pro Auswärtsspiel dividiert.

Verteidigungsstärke Frankfurt = 1,941 / 1,676 = 1,158

Mit der nachfolgenden Formel ist es möglich die Erfolgsquote der Dortmunder im Match gegen Frankfurt zu errechnen. Dazu wird einfach das Produkt aus der Angriffsstärke von Dortmund, der Verteidigungsstärke von Frankfurt und der durchschnittlichen Zahl der Heimtore in der Bundesliga ermittelt.

Erfolgsquote Dortmund = 1,404 * 1,158 * 1,676 = 2,725

Vorhersage der Erfolgsquote von Frankfurt

Ermittlung der Angriffsstärke der Frankfurter

Die Vorgehensweise ist adäquat zum Ermitteln der Erfolgsquote bei Dortmund. Es gilt dieselbe obige Formel zu nutzen, nur das die durchschnittliche Zahl an Heimtoren durch die durchschnittliche Zahl an Auswärtstoren ersetzt wird. Die Eintracht erzielte in der Ferne 32 Tore in der Saison 2020/21.

Ø Tore pro Auswärtsspiel = 32 / 17 = 1,882

Auch hier wird dieser Wert zur Berechnung der Angriffsstärke durch die durchschnittlich pro Spiel erzielten Auswärtstore dividiert.

Angriffsstärke Frankfurt = 1,882 / 1,356 = 1,388

Berechnung der Verteidigungsstärke von Dortmund

Da die Dortmunder zuhause auflaufen, werden die in der letzten Saison im Signal Iduna Park zugelassenen Gegentore benötigt. 20 Gegentore muss sich die Borussia zuhause ankreiden lassen. Diese gilt es durch die Anzahl der Heimspiele zu dividieren.

Ø Gegentore pro Heimspiel = 20 / 17 = 1,176

Um die Verteidigungsstärke zu ermittelt, muss dieser Wert durch die durchschnittliche Anzahl der Gegentore pro Heimspiel dividiert werden.

Verteidigungsstärke Dortmund = 1,176 / 1,356 = 0,867

Nun gilt es die Vorhersage für die Erfolgsquote der Frankfurter zu treffen. Dazu wird das Produkt aus der Angriffsstärke von Frankfurt, der Verteidigungsstärke von Dortmund und der durchschnittlichen Zahl der Auswärtstore in der Bundesliga gebildet.

Erfolgsquote Frankfurt = 1,388 * 0,867 * 1,356 = 1,632

Nachdem wir nun unsere Werte ermittelt haben, gilt anhand der Poisson Verteilung die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Tore im Spiel zwischen Dortmund und Frankfurt zu ermitteln.

Ermitteln der Torwahrscheinlichkeiten für Dortmund

Im Folgenden werden die Wahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Tore, die Dortmund gegen Frankfurt vor heimischer Kulisse erzielen wird aufgezeigt. Dabei greifen wir auf die bereits oben erwähnte Formel der Poison Verteilung zurück.

Erfolgsquote Dortmund = 2,725 (in unserem Fall Lambda)

Anzahl der Tore für die die Wahrscheinlichkeit ermittelt werden soll: 0 (k)

Die Wahrscheinlichkeit, das Dortmund kein Tor gegen Frankfurt erzielt, liegt bei 6,55 Prozent. Um die Eintrittswahrscheinlichkeiten für die Anzahl der Tore der Dortmunder zu ermittelt, bleibt Lambda immer bei einem Wert von 2,725. Der Wert von „k“ hingegen ist auf 1, 2, 3, 4 und 5 zu setzen.

Adäquat gehen wir bei den Eintrittswahrscheinlichkeiten der Tore für die Gäste aus Frankfurt vor. Dort ist Lambda auf den Wert von 1,632 festgesetzt. Die folgende Formel ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass Frankfurt im Signal Iduna Park kein Tor erzielen wird. Der Wert liegt bei 19,5 Prozent.

Wie auch schon bei den Dortmundern, bleibt auch bei den Hessen für das Ermitteln der Eintrittswahrscheinlichkeiten der Anzahl der Tore der Gäste „Lambda“ immer bei einem Wert von 1,632. Der Wert „k“ hingegen ist auf 1, 2, 3, 4 und 5 zu setzen. Um die Wahrscheinlichkeiten zu ermitteln, bietet sich die Nutzung eines Poisson-Verteilungsrechners an.

Die nachfolgende Tabelle zeigt sämtliche Wahrscheinlichkeiten auf.

Wettprognose für Dortmund gegen Eintracht

Die aufgezeigte Tabelle offenbart, dass in diesem Match ein 2:1 Sieg der Dortmunder am wahrscheinlichsten ist. Selbst ein 3:2 wird nicht für unwahrscheinlich gehalten. Insofern Torwetten, spezifisch Over/Under 2,5 Tore als Markt herangezogen werden, deuten die anhand der Poisson Verteilung ermittelten Wahrscheinlichkeiten ganz klar auf mehr als 2,5 Tore hin.

Sollte der Fokus auf den Markt „beide Teams treffen“ gerichtet werden, kann anhand der Wahrscheinlichkeiten auch diesbezüglich eine fundierte Aussage getroffen werden. Grundlegend wollen wir im Zuge unserer Prognose ermitteln, wie Wahrscheinlich das Eintreten des Marktes „beide Teams treffen – NICHT“ ist. Dazu müssen die Wahrscheinlichkeiten für folgende Spielstände errechnet werden: 0:0, 1:0, 0:1, 2:0, 0:2, 3:0, 0:3, 4:0, 0:4, 5:0 und 0:5. Theoretisch sind nach oben hin keine Grenzen gesetzt, da die Paarung auch mit 10:0 oder 0:10 endeten könnte. Doch Vergangenheitswerte offenbaren, dass ein solcher Spielausgang recht unwahrscheinlich ist. Wie die Wahrscheinlichkeiten explizit errechnet werden, wird bei der Quotenermittlung beschrieben.

Als Ergebniswette bringen die Wahrscheinlichkeiten ein 2:1 für Dortmund zum Vorschein. Eine solche Wette ist aber nicht sonderbar empfehlenswert, da sie ein hohes Verlustrisiko mit sich bringt. Es gibt einfach zu viele weitere Möglichkeiten für den Spielausgang. Darüber hinaus sind die Wahrscheinlichkeiten für diesen Spielausgang zu niedrig angesetzt. Welche Wettmärkte sinnvoll sind und gespielt werden können, gilt es in unseren Grundlagen Artikel nachzulesen.

Umrechnung der Wahrscheinlichkeiten in Quoten

Wie bereits erwähnt ist ein 2:1 nach der Poisson Verteilung als Ergebniswette für den BVB recht wahrscheinlich. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis liegt bei 7,82 Prozent. Diese wurde wie folgt berechnet.

Spielausgang 2:1

0,2434 (2 Tore BVB) * 0,3191 (1 Tor Frankfurt) = 0,078

0,078 * 100 = 7,8 Prozent

Wie bereits erwähnt, ist eine Ergebniswette aber als recht riskant einzustufen. Im Rahmen dieses Beispiels ermitteln wir die Wahrscheinlichkeit bzw. Quote für den Markt Under 2,5 Tore. Dazu werden die Wahrscheinlichkeiten für alle potenziellen Spielausgänge in denen weniger als 3 Tore fallen (z. B. 0:0, 1:0, 0:1, 1:1, 2:0, 0:2) ermittelt und miteinander addiert. Die nachfolgende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeiten für die jeweiligen Spielausgänge auf.

Spielausgang 0:0

0,0655 (kein Tor BVB) * 0,1955 (kein Tor Frankfurt) = 0,0128

Spielausgang 1:0

0,1786 (ein Tor BVB) * 0,1955 (kein Tor Frankfurt) = 0,0349

Spielausgang 0:1

0,0655 (kein Tor BVB) * 0,3191 (ein Tor Frankfurt) = 0,0209

Spielausgang 1:1

0,1786 (ein Tor BVB) * 0,3191 (ein Tor Frankfurt) = 0,057

Spielausgang 2:0

0,2434 (zwei Tore BVB) * 0,1955 (kein Tor Frankfurt) = 0,0476

Spielausgang 0:2

0,0655 (kein Tor BVB) * 0,2604 (zwei Tore Frankfurt) = 0,017

Wahrscheinlichkeit Under 2,5 Tore

(0,0128 + 0,0349 + 0,0209 + 0,057 + 0,0476 + 0,017) * 100% = 19,02%

Die Summe aller Wahrscheinlichkeiten bemisst 19,02 Prozent. Somit deutet dieser Prozentsatz auf weniger als 2,5 Tore hin. Dies würde einer Quote von 5,26 entsprechen. Die Quotenermittlung geht dabei wie folgt vonstatten:

19,02 / 100 = 0,1902

1 / 0,1902 = 5,26

Im Umkehrschluss liegt demzufolge die Wahrscheinlichkeit auf mehr als 2,5 Tore bei 80,98 Prozent (100% – 19,02%).

80,98 / 100 = 0,8098

1 / 0,8098 = 1,23

Die Quote auf mehr als 2,5 Tore liegt auf der anderen Seite bei 1,23 und ist somit aufgrund der hohen Wahrscheinlichkeit sehr niedrig angesetzt. Die Rechnung bezieht jedoch die Buchmacher Marge nicht mit ein.

Die errechneten Quoten lassen sich mit den Quoten, die die zahlreichen online Wettanbieter offerieren vergleichen. Somit kann ermittelt werden, ob die gebotenen als lukrativ befunden werden oder eben nicht. Diesbezüglich bietet sich die Verwendung eines Quotenvergleichs an.

Schwächen der Poisson Verteilung

Bei der Poisson Verteilung handelt es sich um ein einfaches Vorhersagemodell, dass eine Vielzahl von Faktoren, die Einfluss auf den Spielverlauf nehmen können, schlichtweg nicht miteinbezieht. Die momentane Form der Konkurrenten, Verletzungen, Sperren oder auch Trainerwechsel bzw. Transfers werden komplett unter den Tisch gekehrt. Darüber hinaus wird auch der Direktvergleich beider Konkurrenten nicht hervorgehoben. Oftmals fallen somit die Quoten beim Wettanbieter höher aus.

Auch Belastungen der Teams werden nicht miteinbezogen. Im Rahmen von unserem Beispiel fällt dies nicht allzu sehr ins Gewicht, da Dortmund und Frankfurt international vertreten sind.

Weiterhin als eine Schwäche ist das Fehlen der Buchmacher Marge zu bewerten.

Poisson Verteilung – das Fazit

Grundlegend handelt es sich hierbei um eine Wettstrategie, anhand von der sich gute Aussagen betreffend der Ausgänge von Begegnungen ermitteln lassen. Es ist jedoch zu berücksichtigen, dass der Output nur so gut sein wird wie der Input. Die in unserem Beispiel ermittelten Wahrscheinlichkeiten sollten nur als Richtwert fungieren.

Zudem gilt es darüber hinaus wichtige Informationen wie verletzte Spieler, Sperren, Wetterverhältnisse, Trainerwechsel usw. in die Vorhersage bzw. die Ermittlung der Quoten miteinfließen zu lassen.

Wer dies letztendlich tut, hat mit der Poisson Verteilung ein sehr gutes Instrument an der Hand, um einen erfolgreichen Wettabschluss zu bewerkstelligen. Grundsätzlich sollte diese Wettstrategie im Sportwetten Bereich zum Einsatz kommen.